Question

（2012•泉州模擬）已知f0(x)=x•ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）．
（Ⅰ）請(qǐng)寫出f_n（x）的表達(dá)式（不需證明）；
（Ⅱ）設(shè)f_n（x）的極小值點(diǎn)為P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，試求a-b的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)寫出f₁（x），f₂（x）歸納出f_n（x）；
（2）由（1）知f_n（x）的表達(dá)式，要求極值點(diǎn)，就要借助導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，解出x_n，驗(yàn)證是極值后代入解析式即可求出y_n．
（3）類比求f_n（x）的極小值的過程求出g_n（x）的極大值，進(jìn)而求出最值即可．

解答：解：（Ⅰ）fn(x)=(x+n)•ex（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）∵fn′(x)=(x+n+1)•ex，
∴當(dāng)x＞-（n+1）時(shí)，fn′(x)＞0；當(dāng)x＜-（n+1）時(shí)，fn′(x)＜0．
∴當(dāng)x=-（n+1）時(shí)，f_n（x）取得極小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
即yn=-e-(n+1)（n∈N^*）．…（8分）
（Ⅲ） 解法一：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），則h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1）．…（10分）
∵h(yuǎn)'（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴h'（x）≥h'（0）=-6-e^-1，
∵h(yuǎn)'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h'（x₀）=0．…（12分）
∵h(yuǎn)'（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)0≤x＜x₀時(shí)，h'（x₀）＜0；當(dāng)x＞x₀時(shí)，h'（x₀）＞0，
即h（x）在[x₀，+∞）單調(diào)遞增，在[0，x₀）單調(diào)遞減，
∴（h（x））_min=h（x₀），
又∵h(yuǎn)（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，h（4）＞h（3），
∴當(dāng)n=3時(shí)，a-b取得最小值e^-4．…（14分）
解法二：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令cn=(n-3)2+e-(n+1)，
則cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，…（10分）
當(dāng)n≥3時(shí)，cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，又因?yàn)閚≥3，所以2n-5≥1，

1

en+2

＞0，0＜

1

en+1

＜1，所以2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，所以c_n+1＞c_n．…（12分）
又c1=4+

1

e2

，c2=1+

1

e3

，c3=

1

e4

，c₁＞c₂＞c₃，
∴當(dāng)n=3時(shí)，a-b取得最小值e^-4．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列以及合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．著重考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．