Question

某學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）=xsinx結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]單調(diào)；
②存在常數(shù)M＞0，使f（x）≤M成立；
③函數(shù)f（x）在（0，π）上無最小值，但一定有最大值；
④點(diǎn)（π，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)的性質(zhì)分析問題．在解答時(shí)：①利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)分析單調(diào)性即可；②在（2kπ，2kπ+

π

2

），k∈Z上x可以去到無限大，所以不存在M使的f（x）≤M成立；③在（0，π）上通過研究單調(diào)性的變化即可獲得問題的解答；④假若點(diǎn)（π，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則x=

π

2

和x=

3π

2

時(shí)的函數(shù)值應(yīng)互為相反數(shù)，實(shí)則不然，故可判斷正誤．

解答：解：由題意可知：f′（x）=sinx+xcosx．
①∵當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時(shí)，f′（x）＜0所以函數(shù)在[-

π

2

，0]上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f′（x）＞0所以函數(shù)在[0，

π

2

]上單調(diào)遞增；故①不對(duì)．
②在（2kπ，2kπ+

π

2

），k∈Z上x可以去到無限大，所以不存在M使的f（x）≤M成立，故②不對(duì)；
③函數(shù)在[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，同上可知函數(shù)在（0，π）上為先增后減的函數(shù)，又所給區(qū)間為開區(qū)間，所以此命題正確；
④假若點(diǎn)（π，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則x=

π

2

和x=

3π

2

時(shí)的函數(shù)值應(yīng)互為相反數(shù)，而f(

π

2

) =

π

2

，f(

3π

2

) =-

3π

2

，故不成立．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的性質(zhì)分析問題．在解答的過程當(dāng)中成分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、函數(shù)最值的知識(shí)、對(duì)稱中心的知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．