Question

某學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）=2x•cosx的性質(zhì)進(jìn)行研究，得出如下的結(jié)論：
①點(diǎn)（0，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
②函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）在[-π，0]上單調(diào)遞增，在[0，π]上也單調(diào)遞增；
④存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．
其中正確的結(jié)論是

①④

．

Answer 1

分析：由函數(shù)是奇函數(shù)可得①正確，②不正確； 由f（

π

3

）＞f（

2π

3

） 可得函數(shù)在[0，π]上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故③不正確；由|f（x）|≤2|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，可得④正確．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=2x•cosx 滿足 f（-x）=-f（x），故函數(shù)是奇函數(shù)，故它的圖象過于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，故①正確．
由函數(shù)是奇函數(shù)，可得②不正確．
由于f（

π

3

）=

π

3

，而 f（

2π

3

）=-

π

6

，∴f（

π

3

）＞f（

2π

3

），故函數(shù)在[0，π]上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故③不正確．
由于函數(shù)f（x）=2x•cosx≤|2x•cosx|≤|2x|•|cosx|≤2|x|，故存在常數(shù)2＞0，使|f（x）|≤2|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故④正確．
故答案為 ①④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及值域，屬于中檔題．