Question

（2004•河西區(qū)一模）球面上有三點(diǎn)A、B、C，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的

1

4

，且經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的截面面積為4π，則該球面積為（　�。�

• A．8

  3

  π
• B．16

  3

  π
• C．12π
• D．24π

Answer 1

分析：根據(jù)球面距離的定義，結(jié)合題意得到OA、OB、OC兩兩互相垂直，且AB=BC=AC．正△ABC的外接圓的半徑r=2，從而算出它的高AD=

3

2

r=3，在△OBC中算出BD=

2

2

R，再利用AD=

3

BD建立等式，解出球半徑R的長(zhǎng)，利用球面積公式即可算出該球的表面積．

解答：解：∵A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的

1

4

，
∴OA、OB、OC兩兩互相垂直，且AB=BC=AC
又∵經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的截面面積為4π，∴經(jīng)過(guò)A、B、C的小圓的半徑r=2
即正△ABC的外接圓的半徑r=2，
∴設(shè)D是BC的中點(diǎn)，可得正△ABC的高AD=

3

2

r=3，
設(shè)球半徑為R在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

2

，
得BC=

2

R，BD=

1

2

BC=

2

2

R．
∵正△ABC中，高AD=

3

BD
∴

3

×

2

2

R=3，解之得R=

6

因此，該球面積為S=4πR²=24π
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出球面上滿足特殊條件的三點(diǎn)A、B、C，在已知三角形ABC的外接圓面積的情況下求球的表面積．著重考查了正三角形的性質(zhì)、球面距離的計(jì)算和球的體積表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．