Question

某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個(gè)小矩形加一個(gè)正方形面積共為200平方米．計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4200元，在四個(gè)相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)角上鋪設(shè)草坪，造價(jià)為每平方米80元．
（1）設(shè)AD長為x米，總造價(jià)為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問：當(dāng)x為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個(gè)小矩形加一個(gè)正方形面積共為200平方米得出AM的函數(shù)表達(dá)式，最后建立建立S與x的函數(shù)關(guān)系即得；
（2）利用基本不等式求出（1）中函數(shù)S的最小值，并求得當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)S的最小值即可．

解答：解：（1）由題意，有 AM=

200-x2

4x

由AM＞0，有   0＜x＜10

2

則S=4200x2+210×(200-x2)+80×2×(

200-x2

4x

)2
=4200x2+42000-210x2+

400000+10x4-4000x2

x2

=4000x2+

400000

x2

+38000（ 0＜x＜10

2

）
（2）S=4000x2+

400000

x2

+38000≥2

4000x2× 400000 x2

+38000=118000
取等號(hào)時(shí)，4000x2=

400000

x2

，即x=

10

∈(0，10

2

)
∴當(dāng)x=

10

米時(shí)，S_min=118000元．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．