Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于C點(diǎn)，AB一條外公切線(xiàn)，A、B分別為切點(diǎn)，連接AC、BC．設(shè)⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，若tan∠ABC=，則 的值為（ ）

A．
B．
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理先證明∠ACB=90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC==，得兩圓弦長(zhǎng)的比；進(jìn)一步求半徑的比．
解答：解：如圖，連接O₂B，O₁A，過(guò)點(diǎn)C作兩圓的公切線(xiàn)CF，交于A(yíng)B于點(diǎn)F，作O₁E⊥AC，O₂D⊥BC，
由垂徑定理可證得點(diǎn)E，點(diǎn)D分別是AC，BC的中點(diǎn)，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=∠BO₂C，∠BAC=∠FCA=∠AO₁C，
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁C+∠BO₂C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁，
設(shè)∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁=β，
則有sinβ=，cosβ=，
∴tanβ=•=•，
∴（tanβ）²==2．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，綜合了圓的有關(guān)知識(shí)，所以學(xué)生所學(xué)的知識(shí)要系統(tǒng)起來(lái)，不可單一．