Question

【題目】已知直線過定點P（2，1）．
（1）求經過點P且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程；
（2）若過點P的直線l與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線過定點P（2，1）且在兩坐標軸上的截距相等，

設直線方程為：x+y=a，將P（2，1）代入得：a=3，

故直線方程是：x+y﹣3=0

（2）解：由題意設直線的截距式方程為 =1（a，b＞0），

∵直線過P（2，1），∴ + =1，

∴1= + ≥2 ，∴ab≥8，

當且僅當 = 即a=4且b=2時取等號，

∴△AOB的面積S= ab≥4，

∴△AOB面積的最小值為4，此時直線l的方程為 =1，

化為一般式方程可得x+2y﹣4=0

【解析】（1）設出直線的方程，代入P點，求出即可；（2）由題意設直線的截距式方程為 =1（a，b＞0），可得 + =1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面積S≥4，可得此時直線的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解截距式方程的相關知識，掌握直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中．