Question

已知點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且它到雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)F的距離是1．
（1）求雙曲線(xiàn)方程；  
（2）過(guò)F的直線(xiàn)L₁交雙曲線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|AB|不超過(guò)4，求L₁的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P 在雙曲線(xiàn) 上，
且它到雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)F的距離是1，
∴ =1，即c= ，
設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 ，
把點(diǎn)P 代入，得 ，
整理，得a⁴﹣5a²+4=0，解得a²=1，或a²=4（舍），
∴雙曲線(xiàn)方程是x²﹣y²=1．
（2）∵雙曲線(xiàn)方程是x²﹣y²=1，∴F（ ），
∴直線(xiàn)L₁的方程是： ，
由 ，得（1﹣k²）x²+ ，
當(dāng)k=±1時(shí)，直線(xiàn) 與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，弦長(zhǎng)為0，成立．
當(dāng)k≠±1時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 ， ，
|AB|= ≤4，
∴（1+k²） ≤16，
整理，得3k⁴﹣10k²+3≥0，解得k²≥3，或 ，
∴ ，或 ，或 ，
綜上所述，L₁的斜率的取值范圍是{k| ，或 ，或 ，或k=±1}．