Question

【題目】已知函數(shù)有且僅有三個零點，并且這三個零點構(gòu)成等差數(shù)列，則實數(shù)a的值為_______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

函數(shù)0，

得|x+a|a＝3，

設(shè)g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，

則函數(shù)g（x），

不妨設(shè)f（x）＝0的3個根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，

當(dāng)x＞﹣a時，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，

得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，

解得x＝﹣1，或x＝4；

若 ①﹣a≤﹣1，即a≥1，此時 x2＝﹣1，x3＝4，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x1＝﹣6，

由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，滿足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．

若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，則f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有兩個不同的解，不妨設(shè)x1，x2，其中x3＝4，

所以有x1，x2是﹣x2a＝3的兩個解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的兩個解．

得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，

又由設(shè)f（x）＝0的3個根為x1，x2，x3成差數(shù)列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，

解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．

③﹣a＞4，即a＜﹣4時，f（x）＝0最多只有兩個解，不滿足題意；

綜上所述，a或﹣1．