Question

如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為長(zhǎng)方形，，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：平面；

(Ⅱ)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明平面；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析；(Ⅱ) 在線段上存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí)點(diǎn)為線段的四等分點(diǎn)。理由見(jiàn)解析。

【解析】（1）由三角形中位線的性質(zhì)得，又，所以.根據(jù)線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由已知得，關(guān)鍵是證，當(dāng)點(diǎn)為線段的四等分點(diǎn)時(shí)，有△∽△，可得.

（Ⅰ）∵，，∴，

又∵平面,平面，

∴平面． ……………………6分

(Ⅱ) 在線段上存在一點(diǎn)，使得平面，

此時(shí)點(diǎn)為線段的四等分點(diǎn)，

且，    …………………… 8分

∵底面，∴，

又∵長(zhǎng)方形中，△∽△，∴，······································ 10分

又∵，∴平面．         12分