Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù).
（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值；
（Ⅲ）試證明：（）。

Answer 1

（Ⅰ）在區(qū)間上是減函數(shù)；（Ⅱ）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
由 

解析試題分析：（Ⅰ）由題 …………（3分）
故在區(qū)間上是減函數(shù)        …………………（4分）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，取，則，  ……………………（6分）
再取則   …………（7分）
故在上單調(diào)遞增，
而，……………（8分）
故在上存在唯一實(shí)數(shù)根，
故時(shí)，時(shí)，
故故  ……………（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
又

 

即：  ………………（14分）
考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，證明不等式。
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，（III）通過構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用“放縮法”轉(zhuǎn)化成數(shù)列“裂項(xiàng)相消法”求和，達(dá)到證明不等式的目的。本題涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。