Question

（2012•浙江模擬）在平面四邊形ABCD中，△ABC為正三角形，△ADC為等腰直角三角形，AD=DC=2，將△ABC沿AC折起，使點B至點P，且PD=2

3

，M為PA的中點，N在線段PD上．

（I）若PA⊥平面CMN，求證：AD∥平面CMN；
（II）求直線PD與平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）先證明PA⊥AD，利用PA⊥平面CMN，可得PA⊥MN，從而可得MN∥AD，利用線面平行的判定，可得AD∥平面CMN；
（II）取AC中點E，連接ED、PE，過P作PF⊥ED交ED于F，則可得∠PDE為直線PD與平面ACD所成的角，在△PDE中，利用余弦定理，可求直線PD與平面ACD所成角的余弦值．

解答：（I）證明：∵AD=2，PA=2

2

，PD=2

3

∴PA²+AD²=PD²，∴PA⊥AD
∵PA⊥平面CMN，∴PA⊥MN
∴MN∥AD
∵AD?平面CMN，MN?平面CMN，
∴AD∥平面CMN；
（II）解：取AC中點E，連接ED、PE，過P作PF⊥ED交ED于F

∵△APC為正三角形，∴AC⊥PE
∵AD=DC，∴AC⊥DE
∵PE∩DE=E，∴AC⊥平面PED
∵PF?平面PED
∴PF⊥AC，PF⊥BD，AC∩ED=E
∴PF⊥平面ACD
∴∠PDE為直線PD與平面ACD所成的角
在△PDE中，∵PE=

6

，ED=

2

，PD=2

3

∴cos∠PDE=

12+2-6

2×2 3 × 2

=

6

3

∴直線PD與平面ACD所成角的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，掌握線面平行的判定，正確作出線面角是關鍵．