Question

【題目】如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，平面平面，點為的中點，連接.

（1）求證:平面PEC平面EBC；

（2）若，且二面角的平面角為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）設為中點，先由等邊三角形性質得根據面面垂直性質定理得平面，再根據面面垂直判定定理得結論，（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解各面法向量，由向量數量積求向量夾角，最后根據二面角與向量夾角相等或互補得方程，解得實數的值.

試題解析：（1）證明：∵為等邊三角形，為中點，∴，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，而平面，

∴平面平面.

（2）如圖，在平面中，作交于點.易知，

以分別為軸建立空間直角坐標系.

設，則，

∴，

，

易知，平面的一個法向量，

設平面的一個法向量為，

則，即

不妨令，解得，

由題知：，解得.