Question

判斷下列函數的奇偶性．
（1）f（x）=x⁴+2x²
（2）f（x）=x³+

1

x

（3）f（x）=

x2-1

+

1-x2

（4）f（x）=

x3-3x2+1，x＞0 x3+3x2-1，x＜0

．

Answer 1

分析：先看函數的定義域是否關于原點對稱，再看f（-x）與f（x）的關系，再根據函數的奇偶性的定義作出判斷．

解答：解：（1）對于函數f（x）=x⁴+2x² ，由于f（-x）=（-x）⁴+2（-x）²=x⁴+2x² =f（x），故函數為偶函數．
（2）對于函數f（x）=x³+

1

x

，由于f（-x）=（-x）³+

1

-x

=-（x³+

1

x

 ）=-f（x），故函數為奇函數．
（3）對于函數f（x）=

x2-1

⁺

1-x2

，由于f（-x）=

(-x)2-1

+

1-(-x)2

=f（x），故函數為偶函數．
（4）對于函數f（x）=

x3-3x2+1，x＞0 x3+3x2-1，x＜0

，當x＞0時，-x＜0，f（-x）=（-x）³+3（-x）²-1=-x³+3x²-1=-（x³-3x²+1）=-f（x）．
同理可得，當x＜0時，-x＞0，f（-x）=（-x）³-3（-x）²+1=-x³-3x²+1=-（x³+3x²-1）=-f（x），
故函數f（x）為偶函數．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷方法，先看函數的定義域是否關于原點對稱，再看f（-x）與f（x）的關系，再根據函數的奇偶性的定義作出判斷，屬于中檔題．