Question

對于定義在R上的函數(shù)f（x），有下述命題：
①若f（x）是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于點A（1，0）對稱；
②若f（x）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③若2是f（x）的一個周期，則對任意的x∈R，都有f（x-1）=-f（x）；
④函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的奇偶性與平移的知識可以判定①、②是否正確；
③由2是f（x）的一個周期，不能得出f（x-1）=-f（x）的結(jié)論；
④通過取特殊函數(shù)來進(jìn)行對錯的判斷．

解答：解：①中，f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右平移一個單位得到；
又f（x）是奇函數(shù)，它的對稱中心是（0，0），可得f（x-1）的圖象關(guān)于點A（1，0）對稱；∴命題正確；
同理②中，f（x）是偶函數(shù)，f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；命題正確；
③中，2是f（x）=tan（

π

2

x）的一個周期，對任意x∈R，f（x-1）=tan（

π

2

x-

π

2

）=-tan（

π

2

-

π

2

x）=-

1

tan( π 2 x)

≠-f（x），∴命題不正確；
④當(dāng)f（x）=x²時，y=f（x-1）=（x-1）²與y=f（1-x）=（1-x）²的圖象不關(guān)于y軸對稱，∴命題不成立．
故答案為：①②．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與周期性以及對稱性問題，是綜合性題目，通常取特例解決這類問題．