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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,在四棱錐中,是邊長為2的正方形,平面平面,直線與平面所成的角為.

          1)若,分別為的中點,求證:直線平面

          2)求二面角的正弦值.

          【答案】1)證明見解析;(2

          【解析】

          1)由平面平面得到平面,從而,根據,得到平面,得到,結合,得到平面;

          (2)為原點,建立空間坐標系,得到平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,得到法向量之間的夾角余弦,從而得到二面角的正弦值.

          1)證明:∵平面平面,平面平面,

          ,平面,

          平面

          為直線與平面所成的角,為,

          ,

          平面,

          的中點,

          ,

          平面,

          平面,

          平面

          ,

          分別為,的中點,

          ,

          正方形中,,∴,

          平面,

          ∴直線平面

          2)解:以為坐標原點,分別以所在直線為,軸,

          的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標系,

          ,,

          ,,

          設平面的法向量為,

          ,即,

          ,得;

          設平面的法向量為

          ,即,

          ,得.

          .

          ∴二面角的正弦值為.

          練習冊系列答案
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