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        1. 如果對(duì)于區(qū)間I 內(nèi)的任意x,都有f(x)>g(x),則稱在區(qū)間I 上函數(shù)y=f(x)的圖象位于函數(shù)y=g(x)圖象的上方.
          (1)已知a>b>1,求證:在(1,+∞)上,函數(shù)y=logbx的圖象位于y=logax的圖象的上方;
          (2)若在區(qū)間[
          12
          , 2]
          上,函數(shù)f(x)=4x+m的圖象位于函數(shù)g(x)=2x+1-3x圖象的上方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          分析:(1)即證logbx>logax對(duì)x∈(1,+∞)恒成立,根據(jù)a>b>1,且x∈(1,+∞)利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性判斷出0<logxb<logxa,再利用換底公式即可得到證明的結(jié)論;
          (2)根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)對(duì)x∈[
          1
          2
          , 2]
          恒成立,利用參變量分離的方法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,解之即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          解答:解:(1)∵x∈(1,+∞),
          ∴y=logxt是單調(diào)遞增函數(shù),
          ∵a>b>1,
          ∴0<logxb<logxa,
          1
          logxb
          1
          logxa
          ,再根據(jù)換底公式,
          ∴l(xiāng)ogbx>logax,
          ∴在(1,+∞)上,函數(shù)y=logbx的圖象位于y=logax的圖象的上方.
          (2)∵在區(qū)間[
          1
          2
          , 2]
          上,函數(shù)f(x)=4x+m的圖象位于函數(shù)g(x)=2x+1-3x圖象的上方,
          ∴4x+m>2x+1-3x對(duì)任意x∈[
          1
          2
          ,2]
          恒成立,
          ∴m>-4x+2•2x-3x在[
          1
          2
          ,2]
          上恒成立,即m>[-4x+2•2x-3x]max
          令t=2x,
          ∵x∈[
          1
          2
          ,2]
          ,則
          2
          ≤t≤4

          ∴y=-4x+2•2x-3x=-t2+2t-3log2t,
          記h(t)=-t2+2t-3log2t,
          ∵y=-t2+2t在[
          2
          , 4]
          上是減函數(shù),y=-3log2t在[
          2
          , 4]
          上也是減函數(shù),
          ∴函數(shù)h(t)=-t2+2t-3log2t在[
          2
          , 4]
          上是減函數(shù),
          ∴h(t)在[
          2
          , 4]
          的最大值為h(
          2
          )=-2+2
          2
          -3log2
          2
          =2
          2
          -
          7
          2
          ,
          ∴m>[-4x+2•2x-3x]max=2
          2
          -
          7
          2

          ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍象是m>2
          2
          -
          7
          2
          點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的恒成立問題,以及對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算,涉及了對(duì)數(shù)的換底公式.對(duì)于函數(shù)的恒成立問題,一般會(huì)選用參變量分離的方法進(jìn)行處理,再分離時(shí)有時(shí)要注意是否進(jìn)行分類討論,然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.本題是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解最值.屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          f(x1)-f(x2)
          x1-x2
          <0,則(  )

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          (2013•虹口區(qū)二模)定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)(I⊆D)的任意兩個(gè)數(shù)x1、x2都有f(
          x1+x2
          2
          )≥
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          成立,則稱此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”.
          (1)判斷函數(shù)f(x)=lgx在R+上是否是“凸函數(shù)”,并證明你的結(jié)論;
          (2)如果函數(shù)f(x)=x2+
          a
          x
          1,2
          上是“凸函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)對(duì)于區(qū)間
          c,d
          上的“凸函數(shù)”f(x),在
          c,d
          上任取x1,x2,x3,…,xn
          ①證明:當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),f(
          x1+x2+…+xn
          n
          )≥
          1
          n
          [f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]
          成立;
          ②請(qǐng)?jiān)龠x一個(gè)與①不同的且大于1的整數(shù)n,
          證明:f(
          x1+x2+…+xn
          n
          )≥
          1
          n
          [f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]
          也成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•虹口區(qū)二模)定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)(I⊆D)的任意兩個(gè)數(shù)x1、x2都有f(
          x1+x2
          2
          )≥
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          成立,則稱此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”.
          (1)判斷函數(shù)f(x)=-x2在R上是否是“凸函數(shù)”,并證明你的結(jié)論;
          (2)如果函數(shù)f(x)=x2+
          a
          x
          在區(qū)間[1,2]上是“凸函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)對(duì)于區(qū)間[c,d]上的“凸函數(shù)”f(x),在[c,d]上的任取x1,x2,x3,…,x2n,證明:f(
          x1+x2+…+x2n
          2n
          )≥
          1
          2n
          [f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]

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