Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，E是側(cè)棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BC₁⊥EC；
（Ⅱ）求二面角A-EC-B的大�。�

Answer 1

分析：法一：
（Ⅰ）設(shè)O是AC的中點(diǎn)，連接OB、OC₁．在正三棱柱中，OB⊥AC，OB⊥平面ACC₁A₁，OC₁是BC₁在面ACC₁A₁上的射影．△AEC≌△COC₁，由此能夠證明BC₁⊥EC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BO⊥平面AEC，作OF⊥EC，垂足為F，連接BF，則∠OFB為二面角A-EC-B的平面角．由此能求出二面角A-EC-B的大�。�
法二：
（Ⅰ）在正三棱柱中，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，利用向量法能夠證明BC₁⊥EC．
（Ⅱ）求出平面AEC的一個法向量為

n1

=

1，0，0

．求出平面ECD的法向量

n2

=

1， 3 ，2 3

．利用向量法能墳出二面角A-EC-B的大�。�

解答：解法一：
（Ⅰ）證明：設(shè)O是AC的中點(diǎn)，連接OB、OC₁．
在正三棱柱中，OB⊥AC，OB⊥平面ACC₁A₁，
∴OC₁是BC₁在面ACC₁A₁上的射影．
∴△AEC≌△COC₁，∠AEC=∠COC₁．
又∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠COC₁+∠ACE=90°，OC₁⊥EC，
∴BC₁⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BO⊥平面AEC，
作OF⊥EC，垂足為F，連接BF，
則∠OFB為二面角A-EC-B的平面角．
不妨設(shè)AB=2，則BO=

3

，OF=

1

5

，
在Rt△BOF中，tan∠OFB=

OB

OF

=

15

，
∴∠OFB=arctan

15

．…（12分）
解法二：
（Ⅰ）證明：在正三棱柱中，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖．
設(shè)AB=2，則
B

3 ，0，0

，C

0，1，0

，C1

0，1，2

，E

0，-1，1

，
∴

BC1

=

- 3 ，1，2

，

EC

=

0，2，-1

，
∵

BC1

•

EC

=0+2-2=0．
∴BC₁⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）解：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，
平面AEC的一個法向量為

n1

=

1，0，0

．
設(shè)平面ECD的法向量為

n2

=

x，y，z

，
易知

BC

=

- 3

，1，0)，

EC

=

0，2，-1

．
由

n2 ⊥ BC n2 ⊥ EC

，得

- 3 x+y=0 2y-z=0

，
取x=1，得

n2

=

1， 3 ，2 3

．
cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

1×4

=

1

4

，
∴二面角A-EC-B的大小為arccos

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運(yùn)用．