Question

已知函數(shù)f（x），g（x）滿足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，則函數(shù)y=

f(x)+2

g(x)

的圖象在x=5處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是

 

．

Answer 1

分析：求出y′，因?yàn)楹瘮?shù)在x=5處的切線斜率等于y′_x=5，把x=5代入y′中即可求出切線的斜率，然后把x=5代入y中求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線方程后，分別令x=0和y=0求出與坐標(biāo)軸的截距，根據(jù)直角三角形面積的求法即可求出切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．

解答：解：y′=

f′(x)g(x)-g′(x)(f(x)+2)

g2(x)

函數(shù)y=

f(x)+2

g(x)

在x=5處的切線斜率k=y′_x=5=

f′(5)g(5)-g′(5)(f(5)+2)

g2(5)

=

3×4-(5+2)

42

=

5

16

；
且x=5時(shí)，y=

f(5)+2

g(5)

=

5+2

4

=

7

4

，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

7

4

），
則切線方程為：y-

7

4

=

5

16

（x-5）化簡得5x-16y+3=0
令x=0，求得直線與y軸的截距y=

3

16

；令y=0，求得直線與x軸的截距x=

3

5

，
所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=

1

2

×

3

16

×

3

5

=

9

160

故答案為：

9

160

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會求直線方程的截距，是一道中檔題．