Question

已知數(shù)列，滿足
（I）求證：數(shù)列均為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（I）詳見試題解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見試題解析；．

試題分析：（I）將已知式變形成從而得都是等比數(shù)列；（Ⅱ）由（I）都是等比數(shù)列，可得消去即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）故因而只要證利用錯(cuò)位相減法求和：．最后利用放縮法證明不等式．
試題解析：（I）證明：即是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列．                                    2分
又是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列．                                          4分
（Ⅱ）解：由（I）知故       8分
（Ⅲ）證明：故           9分
則
設(shè)．

                           12分
故．                                13分