Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：

①不等式的解集是；②函數(shù)在上的最小值是3．

（1）求的解析式；

（2）若點(diǎn)（）在函數(shù)的圖象上，且．

（i）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（ii）令，是否存在正整數(shù)，使得取到最小值？若有，請(qǐng)求出的值；若無，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）存在，數(shù)列能取到最小值.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件建立方程待定求解；（2）（i）借助題設(shè)運(yùn)用等比數(shù)列的定義推證；（ii）借助已知結(jié)論運(yùn)用比較法進(jìn)行分析探求.

試題解析：

（1）∵的解集為，且是二次函數(shù)，

∴可設(shè)（），故的對(duì)稱軸為直線，

∴在上的最小值為，

∴，所以．

（2）（i）∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，

∴，則 ，

∴，又首項(xiàng)，

∴數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2．

（ii）由上題可知，∴，

∵，

當(dāng)或2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即

所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列取到最小值．