Question

（2009•閔行區(qū)一模）已知無窮數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n，且a_n=（a+1）S_n+2（a≠0，a≠-1，n∈N^*）．若數(shù)列{a_n}的各項和為-a，則a=

-2

．

Answer 1

分析：根據(jù)當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得到無窮數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式，再根據(jù)遞推關(guān)系式判斷數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求出
a₁，再利用無窮遞縮等比數(shù)列的各項和公式求各項和，讓其等于-a，即可求出a值．

解答：解：∵a_n=（a+1）S_n+2，①∴a_n-1=（a+1）S_n-1+2  ②
①-②，得，a_n-a_n-1=（a+1）a_n，-aa_n=a_n-1，

an

an-1

=-

1

a

，∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為-

1

a

，
又∵a₁=（a+1）a₁+2，∴a₁=-

2

a

當a=1時，
∴數(shù)列{a_n}的各項和

- 2 a

1+ 1 a

，∴

- 2 a

1+ 1 a

=-a，a=1或-2
∵數(shù)列{a_n}不存在各項和，∴a=-2
故答案為-2

點評：本題主要考查了數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系，以及無窮遞縮等比數(shù)列的各項和公式．