Question

過點M（2，4）作互相垂直的兩條直線，直線l₁與x軸正半軸交于點A，直線l₂與y軸正半軸交于點B．
（1）當△AOB的面積達到最大值時，求四邊形AOBM外接圓方程；
（2）若直線AB將四邊形OAMB分割成面積相等的兩部分，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況：當直線l₁的斜率不存在時，直線l₁與x軸垂直，直線l₂與y軸垂直，三角形AOB是直角邊為2和4的直角三角形，所以面積等于4；當直線l₁的斜率存在時，設(shè)出直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-

1

k

，兩直線都過M（2，4），所以分別寫出兩直線的方程，分別令x=0和y=0即可求出A和B的坐標，然后根據(jù)三角形的面積公式表示出三角形的面積S（k）與k的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)k等于-

b

2a

的時候，S（k）有最大值，最大值為

4ac-b2

4a

，并比較其最大值與4的大小即可判斷出斜率存在時面積最大，利用此時的k值即可求出A和B的坐標，根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，得到AB為四邊形AOBM外接圓的直徑，所以利用中點坐標公式求出線段AB的中點坐標即可得到圓心坐標，利用兩點間的距離公式求出|AB|的長度，除以2即可得到圓的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出四邊形AOBM外接圓的標準方程即可；
（2）分兩種情況：當直線l₁的斜率不存在時，四邊形OAMB面積等于8，所以△AOB的面積的面積等于4；當直線l₁的斜率存在時，連接OM，把四邊形分成兩個三角形OMB和三角形AOM，然后利用三角形的面積公式，由（1）中A和B的坐標表示出四邊形的面積，然后在利用A與B的坐標表示出三角形AOB的面積，并令四邊形的面積等于三角形面積的2倍列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，進而得到A與B的坐標，即可求出此時三角形AOB的面積．

解答：解：（1）當直線l₁斜率不存在時，△AOB的面積等于4；
當直線l₁斜率存在時，可設(shè)其方程為y-4=k（x-2）．令y=0，得A(2-

4

k

，0)．
因與l₂互相垂直，故l₂方程為y-4=-

1

k

(x-2)．令x=0，得B(0，4+

2

k

)．
此時△AOB的面積S(k)=

1

2

(2-

4

k

)(4+

2

k

)=-

4

k2

-

6

k

+4．
于是當k=-

4

3

時，S（k）取最大值

25

4

．
由于

25

4

＞4，所以當△AOB的面積達到最大值時，A（5，0），B(0，

5

2

)．
AB的中點坐標即圓心坐標為（

0+5

2

，

0+ 5 2

2

）即（

5

2

，

5

4

），r=

1

2

|AB|=

1

2

52+( 5 2 )2

=

5 5

4

，
所以四邊形AOBM外接圓方程為：(x-

5

2

)2+(y-

5

4

)2=

125

16

．
（2）當直線斜率l₁不存在時，四邊形OAMB面積等于8，
△AOB的面積等于4，符合題意；
當直線斜率l₁存在時，由（1）知A(2-

4

k

，0)，B(0，4+

2

k

)．
四邊形OAMB的面積為

1

2

(2-

4

k

)×4+

1

2

(4+

2

k

)×2=8-

6

k

．
于是有2(-

4

k2

-

6

k

+4)=8-

6

k

．解得k=-

4

3

．
此時A（5，0），B(0，

5

2

)．△AOB的面積等于

25

4

．
綜上可知，△AOB的面積為4或

25

4

．

點評：此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學思想，同時要求學生掌握圓的一些基本性質(zhì)，靈活運用兩點間的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．學生做題時不要忽視斜率不存在時的情況．