Question

【題目】已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的兩倍，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，直線過點(diǎn)，且與橢圓相交于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若線段長(zhǎng)為，求直線的傾斜角；

（3）點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【解析】

（1）由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的兩倍，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，列出方程組求出，，即可求橢圓的方程；

（2）直線的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)論．

（3）設(shè)直線的方程為，由，得，由此根據(jù)和兩種情況分類討論經(jīng)，能求出結(jié)果．

解：（1）橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的兩倍，

連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，

，

解得，．

所以橢圓的方程為．

（2）由（1）可知點(diǎn)的坐標(biāo)是．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線的斜率為，則直線的方程為．

代入橢圓方程，消去并整理，得．

由，得．

從而．

所以．

由，得．

整理得，即，解得．

所以直線的傾斜角或．

（3）由（1）可知．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線的斜率為，

則直線的方程為，

于是，兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，

由方程組消去并整理，得，

由，得，從而，

設(shè)線段是中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，，

以下分兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．線段的垂直平分線為軸，于是

，，由，得；

②當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線方程為，

令，解得，

由，，，

，

整理得，故，解得．

綜上或．