Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的長軸為AB，以AB為底邊作橢圓的內(nèi)接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面積的最大值．

Answer 1

分析：先設(shè)C（acosφ，bsinφ）進而可得四邊形ABCD 的面積的表達式整理得4absin

φ

2

cos3

φ

2

，進而根據(jù)sin

φ

2

cos³

φ

2

的范圍求得答案．

解答：解：設(shè)C（acosφ，bsinφ），則四邊形ABCD 的面積=absinφ+abcosφsinφ
=absinφ（1+cosφ）=4absin

φ

2

cos3

φ

2

因為sin²

φ

2

×cos⁶

φ

2

=

1

3

×3sin2

φ

2

×cos2

φ

2

×cos²

φ

2

×cos²

φ

2

≤

1

3

×（

3

4

）⁴=

27

256

．
所以sin

φ

2

cos

φ

2

≤

3 3

16

．
所以則四邊形ABCD的面積的最大值為：

3 3

4

ab．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．本題利用了橢圓的參數(shù)方程通過三角函數(shù)的性質(zhì)來解決問題．