Question

已知橢圓=1按向量a=(t-3,t²)(t∈R)平移后得到曲線E,設(shè)曲線E的右焦點(diǎn)為P.

(1)求P點(diǎn)軌跡C的方程;

(2)A、B為曲線C上的兩點(diǎn),F(0,),且(m∈R),求∠AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值.

(文)已知函數(shù)f(x)=xⁿ+1(n∈N^*,x≠0).

(1)討論函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)性,并指出其一條對(duì)稱(chēng)軸或一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心;

(2)令a_n=f′(x),求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n.

Answer 1

答案：解:(1)設(shè)平移后的右焦點(diǎn)為P(x,y),易得已知橢圓的右焦點(diǎn)為F₁(3,0),

則+a=,即(3,0)+(t-3,t²)=(x,y),∴(t∈R)，即軌跡C的方程為y=x².

(2)易知F(0,)為曲線C的焦點(diǎn),又AF=mBF(m∈R).

設(shè)A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),其中x₁＞0,x₂＜0.則k_OA==x₁,k_OB==x₂.

∴tan∠AOB=.?設(shè)直線AB的方程為y=kx+,代入y=x²,得x²-kx-=0,

∴x₂x₁=-,

代入?得tan∠AOB==(x₂-x₁)=-(x₁-x₂)≤-×2

=-(當(dāng)且僅當(dāng)AB∥x軸時(shí)取等號(hào)).

∴∠AOB≤π-arctan,即∠AOB的最大值為π-arctan.

(文)解：(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),因?yàn)閒(-x)=(-x)ⁿ+1=xⁿ+1=f(x),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).2分

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),因?yàn)閒(-x)=(-x)ⁿ+1=-xⁿ+1,所以=1.

所以其圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱(chēng).

〔或令g(x)=f(x)-1=xⁿ,所以g(-x)=(-x)ⁿ=-xⁿ=-g(x),即g(x)為奇函數(shù).

所以g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱(chēng)〕

(2)a_n=f′(x)=nx^n-1,6分所以S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1.#當(dāng)x=1時(shí),S_n=;

當(dāng)x≠1時(shí),#式兩邊同乘x,得xS_n=x+2x²+3x³+…+(n-1)x^n-1+nxⁿ.?

?式-#式可得S_n=.