Question

已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)減函數(shù)
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂≤0，則-x₁＞-x₂≥0，利用f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)的性質(zhì)得出不等式，再由偶函數(shù)的性質(zhì)即可得出f（x₁）＞f（x₂），再由定義即可得出單調(diào)性；
（2）由于函數(shù)是一個偶函數(shù)，故可以分兩類來解這個不等式，即lgx＜0與lgx＞0兩類來討論．

解答：解：（1）證明：設(shè)x₁＜x₂≤0，則-x₁＞-x₂≥0
∵f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂），f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)減函數(shù)
（2）當(dāng)0＜x≤1時，lgx＜0
由f（1）＜f（lgx）得f（-1）＜f（lgx），函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上時單調(diào)減函數(shù)
∴-1＞lgx，0＜x＜

1

10

當(dāng)x≥1時，lgx＞0
由f（1）＜f（lgx），f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴l(xiāng)gx＞1，x＞10
綜上所述，x的取值范圍是(0，

1

10

]∪?[10，+∞)

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，求解問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)的性質(zhì)并能用這些性質(zhì)進行靈活變形轉(zhuǎn)化證明問題．本題中的函數(shù)是抽象函數(shù)，故證明問題時要注意依據(jù)題設(shè)靈活轉(zhuǎn)化．本題中的易錯點是第二問求解時易丟掉一部分解，做題時要注意考慮完善．