Question

已知圓心為C的圓經過三個點O（0，0），A（-2，4），B（1，1）．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l的斜率為-

4

3

，且直線l被圓C所截得的弦長為4，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設出圓的一般式方程，把三個點O（0，0），A（-2，4），B（1，1）的坐標代入，求得D、E、F的值，即可求得圓的方程．
（2）設l的直線方程為4x+3y+m，求出圓心到直線的距離，再利用弦長公式求得m的值，即可得到直線l的方程．

解答：解：（1）設圓C的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，因為點O，A，B在所求的圓上，
故有

F=0 -2D+4E+F+20=0 D+E+F+2=0.

．…（4分）
解得

D=2 E=-4 F=0.

，故所求圓的方程是x²+y²+2x-4y=0． …（7分）
（2）由（1）可得圓C的標準方程為（x+1）²+（y-2）²=5，
所以，圓C的圓心為（-1，2），半徑為

5

，…（9分）
記圓心C到直線l的距離為d，則4=2

5-d2

，即d=1．  …（11分）
設l的直線方程為4x+3y+m=0，則d=

|-4+6+m|

42+32

=1，…（12分）
即|m+2|=5，所以m=-7或3，
所以l的直線方程為4x+3y+3=0，或4x+3y-7=0．     …（14分）

點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的方程，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于中檔題．