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        1. 已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)和B(-2,3),且圓心在直線l:x+2y-3=0上.
          (1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (2)若圓C的切線在x軸,y軸上的截距相等,求切線的方程.
          分析:(1)由圓C過A和B兩點(diǎn),得到線段AB為圓C的弦,故圓心C一定在弦AB的垂直平分線上,由A和B的坐標(biāo)求出直線AB的斜率,根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1,由直線AB的斜率求出線段AB垂直平分線的斜率,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率寫出線段AB垂直平分線的方程,與直線l聯(lián)立組成方程組,求出方程組的解得到兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),即為圓心C的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AC|的長(zhǎng),即為圓C的半徑,根據(jù)圓心和半徑寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;
          (2)分兩種情況考慮:當(dāng)與坐標(biāo)軸的截距為0時(shí),設(shè)切線方程的斜率為k,得到切線方程為y=kx,根據(jù)直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離等于圓的半徑,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,進(jìn)而確定出切線的方程;當(dāng)與坐標(biāo)軸的截距不為0時(shí),根據(jù)圓C的切線在x與y軸上的截距相等,設(shè)出圓C的切線方程為x+y=b,根據(jù)直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離等于圓的半徑,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于b的方程,求出方程的解得到b的值,進(jìn)而確定出切線的方程,綜上,得到所有滿足題意的切線方程.
          解答:解:(1)由題意可知AB為圓C的弦,其垂直平分線過圓心C,
          ∵A(0,1)和B(-2,3),
          ∴k直線AB=
          3-1
          -2-0
          =-1,
          ∴線段AB垂直平分線的斜率為1,
          又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
          0+(-2)
          2
          ,
          1+3
          2
          ),即(-1,2),
          ∴線段AB的垂直平分線的方程為:y-2=x+1,即x-y+3=0,
          又圓心在直線l:x+2y-3=0上,
          聯(lián)立得:
          x-y+3=0
          x+2y-3=0
          ,
          解得:
          x=-1
          y=2
          ,即圓心C坐標(biāo)為(-1,2),
          ∴圓C的半徑|AC|=
          12+(-1)2
          =
          2
          ,
          則圓C的方程為:(x+1)2+(y-2)2=2;
          (2)若直線過原點(diǎn),設(shè)切線的斜率為k,
          ∴切線方程為y=kx,即kx-y=0,
          ∴圓心C到切線的距離d=
          |-k-2|
          1+k2
          =r=
          2
          ,
          整理得:k2-4k-2=0,
          解得:k=2+
          6
          或k=2-
          6

          ∴所求切線的方程為:y=(2+
          6
          )x或y=(2-
          6
          )x;
          若截距b≠0,根據(jù)題意設(shè)圓的切線方程為:x+y=b,
          ∴圓心C到切線的距離d=
          |b-1|
          2
          =r=
          2
          ,
          解得:b=3或b=-1,
          ∴所求切線的方程為:x+y-3=0或x+y+1=0,
          綜上,所有滿足題意的切線方程有4條,分別為y=(2+
          6
          )x或y=(2-
          6
          )x或x+y-3=0或x+y+1=0.
          點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系,線段的中點(diǎn)坐標(biāo),直線的點(diǎn)斜式方程,兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,以及直線的截距式方程,當(dāng)直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離等于圓的半徑,熟練掌握此性質(zhì)是解本題第二問的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)和B(-3,3),且圓心C在直線l:x+y+5=0上.
          (1)求線段AB的垂直平分線方程;
          (2)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知圓心為C的圓經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)O(0,0)、A(1,3)、B(4,0)
          (1)求圓C的方程;
          (2)求過點(diǎn)P(3,6)且被圓C截得弦長(zhǎng)為4的直線的方程.

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          已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,4),B(3,6),且圓心C在直線4x-3y=0上.
          (1)求圓C的方程;
          (2)已知直線l:y=x+m(m為正實(shí)數(shù)),若直線l截圓C所得的弦長(zhǎng)為
          14
          ,求實(shí)數(shù)m的值.
          (3)已知點(diǎn)M(-4,0),N(4,0),且P為圓C上一動(dòng)點(diǎn),求|PM|2+|PN|2的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)和B(0,-3),且圓心C在直線l:2x-y-5=0上.
          (Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)若過點(diǎn)P(4,-8)直線l與圓C交點(diǎn)M、N兩點(diǎn),且|MN|=4,求直線l的方程.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案