Question

如圖，四棱錐A-BCDE中，△ABC是正三角形，四邊形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（1）若點G是AE的中點，求證：AC∥平面BDG；
（2）試問點F在線段AB上什么位置時，二面角B-CE-F的余弦值為

3

13

13

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．

解答：解：（1）證明：連接CE、BD，設(shè)CE∩BD=O，連接OG，
由三角形的中位線定理可得：OG∥AC，
∵AC?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AC∥平面BDG．
（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，
∴DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AC，
∵△ABC是正三角形，
∴取AC的中點M，連結(jié)MO，則MO∥CD，
∴MO⊥面ABC，
以M為坐標原點，以MB，M0，MA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=2，AD=4，∴AM=

3

，
∴B（1，0，0），C（-1，0，0），A（0，0，

3

），
在Rt△ACD中，CD=

AD2-AC2

=

42-22

=

12

=2

3

．
∴BE=CD=2

3

，即E（1，2

3

，0）
則

BA

=(-1，0，

3

)，
∵點F在線段AB上，
∴設(shè)BF=xBA，（0≤x≤1）
則

BF

=x

BA

∴F（1-x，0，

3

x），則

CE

=(2，2

3

，0)，

CF

=(2-x，0，

3

x)，
設(shè)面CEF的法向量為

n

=(a，b，c)，
則由

n • CE =0 n • CF =0

得，

2a+2 3 b=0 (2-x)a+ 3 xc=0

，
令a=

3

，則b=-1，c=

x-2

x

，即

n

=(

3

，-1，

x-2

x

)，
平面BCE的法向量為

m

=(0，0，1)，
二面角B-CE-F的余弦值為

| m • n |

| m |•| n |

=

3 13

13

，
即

| x-2 x |

( 3 )2+12+( x-2 x )2

=

3 13

13

，
∴

( x-2 x )

4+( x-2 x )2

=

3 13

13

，
平方得

( x-2 x )2

4+( x-2 x )2

=

9

13

，解得：(

x-2

x

)2=9，
解得x=-1（舍去）或x=

1

2

．
即F是線段AB的中點時，二面角B-CE-F的余弦值為

3

13

13

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，以及利用向量法解決二面角的大小問題，綜合性較強，運算量較大．