Question

如圖，已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜

π

2

）圖象上一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2

3

），這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)的圖象與x軸交于點(diǎn)（5，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在正整數(shù)m，使得將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象？若存在，求m的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的圖象確定A，ω，φ．其中最值確定A，周期大小確定ω，利用定點(diǎn)（2，2

3

），確定φ．
（2）利用函數(shù)的平移得到偶函數(shù)的條件，然后求出m．

解答：解：（1）由圖象知A=2

3

，

T

4

=3，
∴T=12，∴ω=

2π

T

=

π

6

，
∴f（x）=2

3

sin（

π

6

x+φ），
∵圖象過（2，2

3

），∴2

3

=2

3

sin（

π

6

×2+φ），
∴sin（

π

6

×2+φ）=1，
令

π

3

+φ=

π

2

，∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2

3

sin（

π

6

x+

π

6

）．
（2）假設(shè)存在m，則有
f（x-m）=2

3

sin[

π

6

（x-m）+

π

6

]=2

3

sin[

π

6

x+

π

6

（1-m）]
∵f（x-m）為偶函數(shù)，
∴

π

6

（1-m）=

π

2

+kπ，k∈Z
∴m=-6k-2，∴k=-1時(shí)m=4．
∴存在m，m的最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象平移，要求熟練掌握三角函數(shù)之間的變換技巧．