Question

已知向量

a

=(sinx，-1)，

b

=(

3

cosx，-

1

2

)，函數(shù)f(x)=(

a

+

b

)•

a

-2
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2

3

，且f（A）=1，求A和△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）用三角函數(shù)公式公式，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后直接求出值域．
（2）首先求出A，再利用余弦定理求得b²+c²=bc+12，結(jié)合面積公式求解．

解答：解：（1）f（x）=sin2x+1+

3

sinxcosx+

1

2

-2
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cosx
=sin（2x-

π

6

）
所以f（x）的值域為[-1，1]．
（2）f（A=sin（2A-

π

6

）=1，所以2A-

π

6

=

π

2

+2kπ，A=

π

3

+kπ．
因為A為三角形內(nèi)角，所以A=

π

3

．
由a²=b²+c²-2bccosA，b²+c²=bc+12
b=c=2

3

時取等號
此時S△ABC=

1

2

bcsinA=3

3

所以△ABC面積的最大值為3

3

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性以及三角形的面積公式，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度，是中檔題．