Question

某企業(yè)用49萬元引進一條年產(chǎn)值25萬元的生產(chǎn)線，為維持該生產(chǎn)線正常運轉(zhuǎn)，第一年需各種費用6萬元，從第二年開始包括維修費用在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加2萬元．
（1）該生產(chǎn)線第幾年開始盈利（即總收入減去成本及所需費用之差為正值？）
（2）該生產(chǎn)線生產(chǎn)若干年后，處理方案有兩種：①年平均盈利達到最大值時，以18萬元的價格賣出；②盈利總額達到最大值時，以9萬元的價格賣出，問那一種方案較為合理，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)該生產(chǎn)線第n年開始盈利，盈利為萬元，則y=25n-[6n+

n(n-1)

2

×2]-49=-n²+20n-49．由y＞0求出最小正整數(shù)n的值．
（2）按照方案一，年平均盈利為

y

n

，利用基本不等式求出

y

n

最大時n的值，并求出盈利總額．按照方案二，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出盈利 y的最大值，進而求出盈利總額y+9的值，比較兩種方案盈利總額，結(jié)合所用的時間，作出選擇．

解答：解：（1）設(shè)該生產(chǎn)線第n年開始盈利，盈利為y萬元．
則y=25n-[6n+

n(n-1)

2

×2]-49=-n²+20n-49．
由y=-n²+20n-49＞0解得 10-

51

＜n＜10+

51

，再由n∈N可得，最小正整數(shù)n=3，即該生產(chǎn)線第3年開始盈利．
（2）按照方案一，年平均盈利為

y

n

=-n+20-

49

n

≤20-2

n × 49 n

=6，當且僅當n=7，即第7年賣出，年平均盈利最大，盈利總額為6×7+18=60萬元．
按照方案二，盈利 y=-n²+20n-49=-（n-10）²+51，當且僅當n=10時，盈利總額y+9=60萬元．
兩種方案盈利總額相等，但方案二用的時間較長，故應(yīng)選方案一．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，根據(jù)實際問題確定函數(shù)的類型，屬于中檔題．