Question

（1）當(dāng)時(shí), 求的單調(diào)區(qū)間、極值；
（2）求證：在（1）的條件下，；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由

Answer 1

(1)的的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e）；的極小值為
(3)

（1）當(dāng)時(shí)， ， 1分
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增   …………………………………3分
的的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e）；
的極小值為       ………………………………………………4分
（2）由（1）知在上的最小值為1， ……………………………………5分
令，  
， ………………………6分
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增 …………………………………7分
∴ w
∴在（1）的條件下， …………………………………………………8分
(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使（）有最小值，
     ……………………………………………………9分
①當(dāng)時(shí)，
，
在上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)最小值. …10分
②當(dāng)時(shí)，
若，故在上單調(diào)遞減，
若，故在上單調(diào)遞增.
，得，滿(mǎn)足條件.  ……………………………12分
③當(dāng)時(shí)，
，在上單調(diào)遞減，
（舍去），
所以，此時(shí)無(wú)最小值. ……13分            
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)的最小值是……………………14分
（3）法二：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使的最小值是，
故原問(wèn)題等價(jià)于：不等式對(duì)恒成立，求“等號(hào)”取得時(shí)實(shí)數(shù)a的值.
即不等式對(duì)恒成立，求“等號(hào)”取得時(shí)實(shí)數(shù)a的值.
設(shè) 即 ，   ………………10分
又      ……………………………11分
令
當(dāng)，，則在單調(diào)遞增；
當(dāng)，，則在單調(diào)遞減. ……………………13分
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，其值是 .
故 
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)的最小值是.……………………14分