Question

設(shè)平面向量，，函數(shù)．
①求函數(shù)f（x）的值域；
②求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
③當(dāng)，且時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x）的特點(diǎn)，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡，然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，從而確定出f（x）的解析式，
①根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出f（x）的值域；
②根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]，列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍即為f（x）的遞增區(qū)間；
③根據(jù)，代入f（x）的解析式中，得到sin（）的值，根據(jù)α的范圍求出的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（）的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，將sin（）和cos（）的值代入即可求出值．
解答：解：依題意f（x）=（cosx，sinx）•（2分）
=（5分）
①函數(shù)f（x）的值域是[0，2]；（6分）
②令，
解得：，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為；（8分）
③由，得，
因為，所以，
得，（11分）
則
==（13分）．
點(diǎn)評：此題綜合考查了正弦函數(shù)的定義域及值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及三角函數(shù)的恒等變換．學(xué)生做題時注意角度的范圍，靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則．