Question

（本題滿分12分）如圖所示，已知四棱錐S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=.
（1）求證：MN⊥平面ABN；（2）求二面角A—BN—C的余弦值

Answer 1

（1）見解析； （2）所求的二面角的余弦值為。

試題分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量，計算從而證明∴即可證明MN⊥平面ABN；
（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的數(shù)量積求得二面角A-BN-C的余弦值．
解：法一 ：以A點為原點，AB為x軸，AD為y軸，AD為z軸的空間直角坐標(biāo)系，
則依題意可知相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），
D（0，1，0），S（0，0，1）……………………2分
…………………………4分

∴MN⊥平面ABN.………………………………………6分
（2）設(shè)平面NBC的法向量且又易知

令a=1，則……………………………………9分
顯然，就是平面ABN的法向量.
………………………………………10分
………………………………………12分
法二：（1）由題意知連則可求，則
…………………………6分
（2）因為，在平面內(nèi)作且，
又在，所以，
且 故所求的二面角的余弦值為………………………12分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是合理的建立空間直角坐標(biāo)系，然后準(zhǔn)確的表示點的坐標(biāo)，和法向量的坐標(biāo)，進而得到垂直的判定和二面角的平面角的求解。