Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：若，則；

（2）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

試題（1）函數(shù)求導(dǎo)，再求導(dǎo)得恒成立，又因?yàn)?/span>恒成立；

（2）由（1）可知，當(dāng)x≤0時(shí)，f″(x)≤0，可得 對(duì)x∈R，f′(x)≥0，即ex≥x+1，分類討論當(dāng)x≥-1時(shí)，當(dāng)x＜-1時(shí)，函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得解；

當(dāng)x＜-1時(shí)，再分0≤m≤1和m＜0兩種情況進(jìn)行討論，由函數(shù)零點(diǎn)定理進(jìn)行判斷即可得到答案.

試題解析：，所以

(1)當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.

(2)由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增函數(shù)為.所以，所以對(duì) ，，即.

①當(dāng)時(shí)，，又，，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，又，所以當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為.

②當(dāng)時(shí)，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)在上遞增，所以，且，故時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn).

(ⅱ)當(dāng)時(shí)， ，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，又曲線在區(qū)間上不間斷，所以，使，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，所以對(duì)，又當(dāng)時(shí)，，又，曲線在區(qū)間上不間斷.所以，且唯一實(shí)數(shù)，使得，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)兩零點(diǎn).