Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；  
（2）證明：在f（x）上R為增函數(shù)；
（3）證明：方程f（x）-lnx=0在區(qū)間（1，3）內(nèi)至少有一根．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

，任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，根據(jù)增函數(shù)的定義，只需通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）；
（3）令g（x）=f（x）-lnx=1-

2

2x+1

-lnx，問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)至少有一個零點即可，有零點存在定理可證明；

解答：（1）解：f（x）為奇函數(shù)．證明如下：
函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱，
又f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：f（x）=1-

2

2x+1

，
任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為x₁＜x₂，所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）證明：令g（x）=f（x）-lnx=1-

2

2x+1

-lnx，
因為g（1）=

1

3

＞0，g（3）=1-

2

23+1

-ln3=

7

9

-ln3＜0，
又g（x）在（1，3）上圖象連續(xù)不斷，
所以函數(shù)g（x）在（1，3）上至少有一個零點，
即方程f（x）-lnx=0在區(qū)間（1，3）內(nèi)至少有一根．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷證明，考查函數(shù)零點的存在定理，掌握有關(guān)問題的基本解決方法是處理該類問題的基礎(chǔ)．