Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）若f（x）為（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在定義域上的極值；
（Ⅲ）設(shè)an=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

(n∈N*)，求證：a_n＞ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得f′(x)=

1

x+1

-m所以x＞0時(shí)，0＜

1

x+1

＜1，所以m≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，m≥1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是（-1，+∞）所以當(dāng)m≤0時(shí)f′(x)=

1

x+1

-m＞0所以此時(shí)f（x）沒(méi)有極值；
當(dāng)m＞0時(shí)，由f'（x）＞0得-1＜x＜

1

m

-1，由f'（x）＜0得x＞

1

m

-1，故當(dāng)x=

1

m

-1時(shí)，f（x）有極大值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），設(shè)x=

1

k+1

得 ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+1

-m
∵x＞0時(shí)，0＜

1

x+1

＜1
∴m≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
∴m≥1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
∴m的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）①當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為定義域上的增函數(shù)，
∴f（x）沒(méi)有極值；
②當(dāng)m＞0時(shí)，由f'（x）＞0得-1＜x＜

1

m

-1；
由f'（x）＜0得x＞

1

m

-1∴f(x)在(-1，

1

m

-1)上單調(diào)遞增，(

1

m

-1，+∞)上單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=

1

m

-1時(shí)，f（x）有極大值f(

1

m

-1)=m-1-lnm，但無(wú)極小值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=

1

k+1

，得ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

所以

1

n+1

+

1

n+2

++

1

n+(n+1)

＞ln

n+2

n+1

+ln

n+3

n+2

++ln

2n+2

2n+1

=ln

2n+2

n+1

=ln2．
所以a_n＞ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與函數(shù)的單調(diào)性，在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)要注意函數(shù)的定義域．并且利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這是高考考查的重點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．