Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的端點(diǎn)分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線與軸相交于點(diǎn).設(shè)弦的中點(diǎn)為，試求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）由橢圓的右焦點(diǎn)，即.又短軸的端點(diǎn)分別為,且，即可求出，的值.從而得到橢圓的方程.
（2）由（1）可得假設(shè)直線AB的方程聯(lián)立橢圓方程消去y即可得到一個關(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理得到根與直線斜率k的關(guān)系式.寫出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)以及線段AB的垂直平分線的方程.即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo).即可求得線段PD的長，根據(jù)弦長公式可得線段MN的長度，再通過最的求法即可得結(jié)論.
試題解析：（1）依題意不妨設(shè)，，則，.
由，得.
又因為，
解得.
所以橢圓的方程為.
（2）依題意直線的方程為. 
由得.
設(shè)，，則，.
所以弦的中點(diǎn)為
.
所以

.
直線的方程為，
由，得，則，
所以.
所以.
又因為，所以.
所以.
所以的取值范圍是.
考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積.2.橢圓的性質(zhì).3.等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.4.運(yùn)算能力.