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        1. 【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2= ,且直線l經(jīng)過曲線C的左焦點(diǎn)F. ( I )求直線l的普通方程;
          (Ⅱ)設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L,求L的最大值.

          【答案】解:(I)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2= ,即ρ22sin2θ=4,

          可得直角坐標(biāo)方程:x2+2y2=4,化為: + =1.

          ∴c= = ,可得作焦點(diǎn)F

          直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),消去參數(shù)t可得:x﹣y=m,

          代入可得:m=﹣

          ∴直線l的普通方程為:x﹣y+ =0.

          (II)設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為

          ∴橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為L=8cosθ+4 sinθ=4 sin(θ+φ)≤4 (其中tanφ= ).

          ∴橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最大值為4


          【解析】(I)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2= ,即ρ22sin2θ=4,利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程,可得作焦點(diǎn)F .直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),消去參數(shù)t可得:x﹣y=m,把F代入可得:m.(II)設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為 .可得橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為L=8cosθ+4 sinθ=4 sin(θ+φ)(其中tanφ= ).即可得出橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最大值.

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