Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）若正實(shí)數(shù)滿足，證明：.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）證明見解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的符號求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)問題轉(zhuǎn)化為恒成立，先求，然后分別討論當(dāng)和時函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求的最大值，若最大值小于零，則不等式恒成立，否則不恒成立，由此確定整數(shù)的最小值；(3) 由題意得，即，因為均為正實(shí)數(shù)，令，分析確定其最小值，也就是的最小值，所以解不等式可以確定，命題得證.

解：（1）定義域為

由，即，解得或

∴單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）設(shè)

不等式恒成立等價于恒成立，

當(dāng)時，則，，

所以，在上單調(diào)遞增，

因為，不符合題意；

當(dāng)時，

	+	0	-
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

設(shè)在單調(diào)遞減且

所以當(dāng)時，

所以整數(shù)的最小值為2；

(3)由題意得，

即，

令，，則，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，

所以，令，

則且，解得成立.