如圖,橢圓 (a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,已知點(diǎn)B在直線l:
上,且橢圓的離心率e =
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),PQ⊥y軸,Q為垂足,M為線段PQ中點(diǎn),直線AM交直線l于點(diǎn)C,N為線段BC的中點(diǎn),求證:OM⊥MN.
(1);(2)詳見解析.
解析試題分析:(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì),建立方程,即可求得;(2)可以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo),然后用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示M、N的坐標(biāo),進(jìn)而可以表示、
,然后說(shuō)明
即可.
試題解析:(1)依題意,得. ∵
,
,∴
.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)證明:設(shè),
,則
,且
.∵
為線段
中點(diǎn), ∴
. 又
,∴直線
的方程為
.
令
,得
. 又
,
為線段
的中點(diǎn),∴
.
當(dāng)時(shí),
,
此時(shí),
∴,
不存在,∴
.
當(dāng)時(shí),
,
,
∵,∴
綜上得.
考點(diǎn):(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)兩條直線垂直的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C:(a>b>0),過(guò)點(diǎn)(0,1),且離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B為橢圓C的左右頂點(diǎn),直線l:x=2與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),直線AP,BP分別交直線l于E,F(xiàn)兩點(diǎn).證明:當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),
恒為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)曲線C1:所圍成的封閉圖形的面積為
,曲線C1上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為
.以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2.
(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)AB是過(guò)橢圓C2中心O的任意弦,l是線段AB的垂直平分線.M是l上的點(diǎn)(與O不重合).
①若MO=2OA,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程;
②若M是l與橢圓C2的交點(diǎn),求△AMB的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,橢圓C:的左頂點(diǎn)為A,M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo),求m的值;
(2)若橢圓C上存在點(diǎn)M,使得,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別
、
,點(diǎn)
是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),且焦距為6,
的周長(zhǎng)為16.
(I)求橢圓的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)且斜率為
的直線
被橢圓
所截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓:
的離心率為
,右焦點(diǎn)為(
,0).
(1)求橢圓的方程;
(2)若過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于
,
兩點(diǎn),求證:點(diǎn)
到直線
的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知圓
,若橢圓
的右頂點(diǎn)為圓
的圓心,離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若存在直線,使得直線
與橢圓
分別交于
兩點(diǎn),與圓
分別交于
兩點(diǎn),點(diǎn)
在線段
上,且
,求圓
的半徑
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
橢圓以雙曲線
的實(shí)軸為短軸、虛軸為長(zhǎng)軸,且與拋物線
交于
兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及線段
的長(zhǎng);
(2)在與
圖像的公共區(qū)域內(nèi),是否存在一點(diǎn)
,使得
的弦
與
的弦
相互垂直平分于點(diǎn)
?若存在,求點(diǎn)
坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-2,該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線x=-2的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等,圓N是以N為圓心,同時(shí)與直線l1:y=x和l2:y=-x相切的圓,
(1)求定點(diǎn)N的坐標(biāo);
(2)是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件:
①l分別與直線l1和l2交于A、B兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)為E(4,1);
②l被圓N截得的弦長(zhǎng)為2.
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