Question

已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令  (Ⅱ)求數(shù)列
(Ⅲ)設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（I）由已知得 

又

是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
（II）由（I）知，


將以上各式相加得：

               
（III）解法一：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.



數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.
由（I）、（II）知，

又

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.

解：（I）由已知得 

又

是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
（II）由（I）知，


將以上各式相加得：

               
（III）解法一：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.



數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.
由（I）、（II）知，

又

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.