Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的對稱軸x=a與區(qū)間[1，a]再結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出值域．
（2）由于要使對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4則必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即因此需求出函數(shù)在[1，a+1]上的最大最小值．
（3）根據(jù)函數(shù)零點與方程的關(guān)系可得f（x）在x∈[1，3]上有零點即f（x）=0在x∈[1，3]上有實數(shù)解也即2a=

x2+5

x

=x+

5

x

在x∈[1，3]上有實數(shù)解則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x+

5

x

的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的對稱軸為x=a∈[1，a]
∴函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上單調(diào)遞減
∵函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
（2）∵f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)
∴a≥2
∴函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上單調(diào)遞減，[a，a+1]上單調(diào)遞增
∵f（1）≥f（a+1）
∴[f（x）]_max=f（1），[f（x）]_min=f（a）
∵對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
∴要使對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4則必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即可
∴f（1）-f（a）≤4
∴a²-2a+1≤4
∴-1≤a≤3
∵a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零點
∴f（x）=0在x∈[1，3]上有實數(shù)解
∴2a=

x2+5

x

=x+

5

x

在x∈[1，3]上有實數(shù)解
令g（x）=x+

5

x

則g（x）在[1，

5

]單調(diào)遞減，在（

5

，3]單調(diào)遞增且g（1）=6，g（3）=

14

3

∴2

5

≤g（x）≤6
∴2

5

≤2a≤6
∴

5

≤a≤3

點評：本題主要考察函數(shù)零點與方程根的關(guān)系以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．解題的關(guān)鍵是雖然（1）（2）都可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值但第二問首先需分析出對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
而對于第三問關(guān)于求參數(shù)的取值范圍的類型長采用反解的方式即用未知數(shù)表示參數(shù)然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在指定范圍內(nèi)的值域問題！