Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

2

x

+alnx，(a∈R)
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）記函數(shù)g（x）=x²f′（x），若g（x）的最小值是-

5

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）將a=-4代入函數(shù)的解析式，先求函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導函數(shù)，分析導函數(shù)符號在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系可得結(jié)論；
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

1-x4

x

在[1，+∞）上恒成立，構造函數(shù)h（x）=

1-x4

x

并求出其最小值，可得實數(shù)a的取值范圍；
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2的最小值是-

5

2

，由此構造關于a的方程，解方程求出a值，可得f（x）的解析式．

解答：解：（1）當a=-4時，f(x)=x2+

2

x

-4lnx，（x＞0）
f′(x)=2x -

2

x2

-

4

x

=

2x3-4x-2

x2

=

2(x2-x-1)(x+1)

x2

令f′（x）=0，則x=

1+ 5

2

∵x∈（0，

1+ 5

2

）時，f′（x）＜0，∵當x∈（

1+ 5

2

，+∞）時，f′（x）＞0，
∴（0，

1+ 5

2

）為函數(shù)f(x)=x2+

2

x

-4lnx的單調(diào)遞減區(qū)間，
∴（

1+ 5

2

，+∞）為函數(shù)f(x)=x2+

2

x

-4lnx的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）∵f′（x）=

2x3+ax-2

x2

若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即2x³+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥

1-x4

x

在[1，+∞）上恒成立
令h（x）=

1-x4

x

，則h′（x）=

-3x4-1

x2

＜0恒成立
故h（x）=

1-x4

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞減
當x=1時，h（x）取最大值0
故a≥0，即實數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2
則g′（x）=6x²+a，
當a≥0時，g′（x）≥0恒成立
此時g（x）在定義域（0，+∞）上無最小值
當a＜0時，令g′（x）=6x²+a=0
則x=

- a 6

∵x∈（0，

- a 6

）時，f′（x）＜0，∵當x∈（

- a 6

，+∞）時，f′（x）＞0，
∴（0，

- a 6

）為函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，
∴（

- a 6

，+∞）為函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
當x=

- a 6

時，g（x）的最小值g（

- a 6

）=2

- a 6

3+a

- a 6

-2=-

5

2

，
解得a=-

3

2

∴f(x)=x2+

2

x

-

3

2

lnx

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)解析式的求解及常用方法，其中熟練掌握導函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，并又此分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點是解答的關鍵．