Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0）．
（i）若|AB|=

4 2

5

，求直線l的傾斜角；
（ii）若點(diǎn)Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且

QA

•

QB

=4．求y₀的值．

Answer 1

分析：（1）由離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)c²=a²-b²求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)

1

2

×2a×2b=4求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）（i）由（1）可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由韋達(dá)定理求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而利用直線方程求得其縱坐標(biāo)表達(dá)式，表示出|AB|進(jìn)而求得k，則直線的斜率可得．
（ii）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由（i）可表示M的坐標(biāo)，看當(dāng)k=0時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，進(jìn)而根據(jù)

QA

•

QB

=4求得y₀；當(dāng)k≠0時(shí)，可表示出線段AB的垂直平分線方程，令x=0得到y(tǒng)₀的表達(dá)式根據(jù)

QA

•

QB

=4求得y₀；綜合答案可得．

解答：解：（Ⅰ）由e=

c

a

=

3

2

，得3a²=4c²．
再由c²=a²-b²，解得a=2b．
由題意可知

1

2

×2a×2b=4，即ab=2．
解方程組

a=2b ab=2

得a=2，b=1．
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k．
則直線l的方程為y=k（x+2）．
于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1.

消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

．從而y1=

4k

1+4k2

．
所以|AB|=

(-2- 2-8k2 1+4k2 )2+( 4k 1+4k2 )2

=

4 1+k2

1+4k2

．
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

．
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直線l的傾斜角為

π

4

或

3π

4

．
（ii）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，
由（i）得到M的坐標(biāo)為(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)．
以下分兩種情況：
（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），
線段AB的垂直平分線為y軸，
于是

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(2，-y0)．
由

QA

•

QB

=4，得y0=±2

2

．
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為
y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)．
令x=0，解得y0=-

6k

1+4k2

．
由

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(x1，y1-y0)，

QA

•

QB

=-2x1-y0(y1-y0)
=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

(

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

 )
=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，
整理得7k²=2．故k=±

14

7

．
所以y0=±

2 14

5

．
綜上，y0=±2

2

或y0=±

2 14

5

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力．