Question

已知函數(shù)f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，求使f（x）＞2的x的集合．

Answer 1

分析：直接利用f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，得到方程組求出a，b的值，然后利用二倍角、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用f（x）＞2，利用正弦函數(shù)值域，求出不等式的解集即可．

解答：解：由題意

f(0)=2acos0+bsin0cos0=2a=2 f( π 3 )=2acos2 π 3 +bsin  π 3 cos π 3 = 1 2 a+ 3 4 b= 1 2 + 3 2

⇒

2a=2 1 2 a+ 3 4 b= 1 2 + 3 2

⇒

a=1 b=2

…（4分）
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+1…（9分）
又f（x）＞2，

2

sin(2x+

π

4

)+1＞2，
即sin（2x+

π

4

）＞

2

2

⇒2kπ+

π

4

＜2x+

π

4

＜2kπ+

3π

4

，k∈Z
即：kπ＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z…（12分）
所求使f（x）＞2的x的集合為{x|kπ＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)解析式的求法，三角不等式的解法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．