Question

銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且b²+c²-a²=bc
（1）求角A的大小；
（2）求y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)的最大值，并求取得最大值時(shí)角B的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入可求出cosA的值，由A為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式中的第一項(xiàng)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡第二項(xiàng)，合并后再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出y的最大值．

解答：解：（1）因?yàn)閎²+c²-a²=bc，所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又因?yàn)锳∈(0，

π

2

)，所以A=

π

3

；
（2）化簡得：y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)
=1-cos2B+sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B
=1+sin（2B-

π

6

），
∵0＜B＜

π

2

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴當(dāng)2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時(shí)，sin（2B-

π

6

）的最大值為1，
則y有最大值是2．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，三角函數(shù)的恒等變形以及三角函數(shù)的最值，第二問的思路為：利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由三角函數(shù)的最值來求函數(shù)的最值．學(xué)生做題時(shí)注意角度的范圍．