Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=4的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E，求證：直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M；
（III）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在（II）的條件下，過點(diǎn)M的直線交橢圓C于S、T兩點(diǎn)，求•的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線x²=4得焦點(diǎn)．設(shè)橢圓方程為．由題意可得，再利用及a²=b²+c²即可得出；
（2）由題意可知直線PA的斜率存在，設(shè)直線PA的方程為y=k（x+4），與橢圓的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系．設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（x₁，-y₁）．直線BE的方程為．把y₁，y₂分別用x₁，x₂表示，在代入直線BE的方程即可得出；
（3）當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線ST的方程為y=m（x+1），且S（x₃，y₃），T（x₄，y₄）在橢圓C上，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系及判別式，再利用向量的數(shù)量積，即可得出其其中范圍．當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，比較簡(jiǎn)單．
解答：（1）解：由拋物線x²=4得焦點(diǎn)．
設(shè)橢圓方程為．
由題意可得，解得，
∴橢圓的方程為．
（2）證明：由題意可知直線PA的斜率存在，設(shè)直線PA的方程為y=k（x+4），
聯(lián)立，消去y得到（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0   ①
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（x₁，-y₁）．
直線BE的方程為．
令y=0，則，
把y₁=k（x₁+4），y₂=k（x₂+4）代入上式并整理得．②
由①得，，將其代入②并整理得．
∴直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M（-1，0）．
（3）當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線ST的方程為y=m（x+1），且S（x₃，y₃），T（x₄，y₄）在橢圓C上，
聯(lián)立得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-12=0，
則△=（8m²）²-4（4m²+3）（4m²-12）=144（m²+1）＞0．
∴，，
∴=m²（x₃x₄+x₃+x₄+1）=-．
∴=x₃x₄+y₃y₄==-．
由m²≥0得．
當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線ST的方程為x=-1，，，
此時(shí)，，
∴•的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程得根與系數(shù)的關(guān)系、直線過定點(diǎn)問題、向量相等及其數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)及基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計(jì)算能力．